Toán 8 – Bài 7: Nhân đa thức với đa thức – Lý thuyết và bài tập có đáp án

Toán 8 – Bài 7: Nhân đa thức với đa thức – Lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án

Bài học hôm nay giúp học sinh lớp 8 hiểu cách thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, là kiến thức quan trọng trong chương trình đại số lớp 8.

I. Kiến thức cần nhớ

Phép nhân đa thức với đa thức được thực hiện bằng cách nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai, sau đó cộng các kết quả lại và rút gọn biểu thức nếu có thể.

Công thức tổng quát:

Nếu 
P(x) = a₁x^m + a₂x^{m-1} + ... + a_k và 
Q(x) = b₁x^n + b₂x^{n-1} + ... + b_t
thì
P(x) × Q(x) = (a₁x^m + ... + a_k) × (b₁x^n + ... + b_t)
= a₁b₁x^{m+n} + a₁b₂x^{m+n-1} + ... + a_kb_t
  

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính tích của đa thức

P(x) = x + 2 và Q(x) = 3x - 5

Ta có:

P(x) × Q(x) = (x + 2)(3x - 5)
            = x × 3x + x × (-5) + 2 × 3x + 2 × (-5)
            = 3x² - 5x + 6x - 10
            = 3x² + x - 10
  

III. Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1:

Nhân các đa thức sau:

a) (2x + 3)(x - 4)
b) (x² + x)(x - 1)
  

Đáp án:

a) (2x + 3)(x - 4) = 2x × x + 2x × (-4) + 3 × x + 3 × (-4)
                   = 2x² - 8x + 3x - 12
                   = 2x² - 5x - 12

b) (x² + x)(x - 1) = x² × x + x² × (-1) + x × x + x × (-1)
                   = x³ - x² + x² - x
                   = x³ - x
  

Bài 2:

Rút gọn biểu thức:

(x + 3)(x² - 2x + 1)
  

Đáp án:

= x × (x² - 2x + 1) + 3 × (x² - 2x + 1)
= x³ - 2x² + x + 3x² - 6x + 3
= x³ + x² - 5x + 3
  

IV. Ghi nhớ

• Nhân đa thức với đa thức bằng cách nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai.
• Sau khi nhân, cộng các hạng tử đồng dạng và rút gọn biểu thức.
• Phép nhân đa thức là nền tảng để học các phép toán đại số phức tạp hơn.

V. Liên hệ và mở rộng

Kiến thức này giúp học sinh phát triển kỹ năng giải các bài toán đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình đa thức.

Xem thêm bài trước: Toán 8 – Bài 6: Nhân đơn thức với đa thức

VI. Kết luận

Nắm vững phép nhân đa thức với đa thức giúp học sinh tự tin giải các bài toán đại số lớp 8 và các bài toán phức tạp hơn trong các năm học tiếp theo.

Chúc các em học tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Toán 8 – Bài 6: Nhân đơn thức với đa thức – Lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án

Bài học hôm nay giúp học sinh lớp 8 hiểu và vận dụng được cách nhân một đơn thức với một đa thức. Đây là kiến thức cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình đại số.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số và biến (hoặc chỉ số).

2. Đa thức là tổng các đơn thức với nhau.

3. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức:

• Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.
• Giữ nguyên dấu phép cộng, trừ giữa các hạng tử.

Công thức tổng quát:

Nếu A = a·x^m là đơn thức và P(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_0 là đa thức thì:
A × P(x) = a·x^m × b_nx^n + a·x^m × b_{n-1}x^{n-1} + ... + a·x^m × b_0

II. Ví dụ minh họa

Cho đơn thức A = 3x² và đa thức P(x) = 2x³ - x + 4

Tính A × P(x):

= 3x² × (2x³ - x + 4)
= 3x² × 2x³ - 3x² × x + 3x² × 4
= 6x^{5} - 3x^{3} + 12x^{2}

III. Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1:

Nhân đơn thức với đa thức:

a) A = 4x, P(x) = x² - 3x + 5
b) B = -2x³, Q(x) = 3x² + x - 1

Đáp án:

a) 4x × (x² - 3x + 5) = 4x³ - 12x² + 20x
b) -2x³ × (3x² + x - 1) = -6x^{5} - 2x^{4} + 2x^{3}

Bài 2:

Rút gọn biểu thức sau:

3x × (2x² - x + 4) - 2x² × (x - 3)

Đáp án:

= 3x × 2x² - 3x × x + 3x × 4 - 2x² × x + 2x² × 3
= 6x^{3} - 3x^{2} + 12x - 2x^{3} + 6x^{2}
= (6x^{3} - 2x^{3}) + (-3x^{2} + 6x^{2}) + 12x
= 4x^{3} + 3x^{2} + 12x

IV. Ghi nhớ

• Nhân đơn thức với đa thức bằng cách nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.
• Giữ nguyên dấu cộng/trừ giữa các hạng tử.
• Rút gọn kết quả nếu có thể.

V. Liên hệ và mở rộng

Kiến thức nhân đơn thức với đa thức là tiền đề để học các phép toán phức tạp hơn như nhân đa thức với đa thức, khai triển đa thức, và giải phương trình đa thức.

Xem thêm bài trước: Toán 8 – Bài 5: Phép trừ các đa thức một biến

VI. Kết luận

Nắm chắc phép nhân đơn thức với đa thức giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán đại số lớp 8 dễ dàng và chính xác.

Chúc các em học tốt và luyện tập thường xuyên!

Toán 8 – Bài 5: Phép trừ các đa thức một biến – Lý thuyết, ví dụ và bài tập tự luyện có đáp án

Bài học này sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững cách thực hiện phép trừ các đa thức một biến. Đây là kiến thức cơ bản nhưng rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi học kỳ.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Phép trừ đa thức một biến là phép toán lấy một đa thức trừ đi một đa thức khác, bằng cách:

• Giữ nguyên đa thức thứ nhất.
• Đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức thứ hai.
• Cộng hai đa thức vừa thu được.

2. Quy tắc:

A(x) - B(x) = A(x) + (–B(x))

Lưu ý: Khi đổi dấu đa thức thứ hai, tất cả các hạng tử phải đổi dấu: dấu “+” thành “–” và ngược lại.

II. Ví dụ minh họa

Cho A(x) = 4x² + 3x - 5, B(x) = 2x² - x + 7

Tính: A(x) - B(x)

⇒ A(x) - B(x) = (4x² + 3x - 5) - (2x² - x + 7)
              = 4x² + 3x - 5 - 2x² + x - 7
              = (4x² - 2x²) + (3x + x) + (-5 - 7)
              = 2x² + 4x - 12

III. Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1:

Thực hiện phép trừ các đa thức sau:

a) A(x) = 5x³ - 2x² + 4, B(x) = 3x³ + x² - 1

b) P(x) = 2x² + 3x - 5, Q(x) = x² - 4x + 2

Đáp án:

a) A(x) - B(x) = (5x³ - 2x² + 4) - (3x³ + x² - 1)
              = 5x³ - 2x² + 4 - 3x³ - x² + 1
              = 2x³ - 3x² + 5

b) P(x) - Q(x) = (2x² + 3x - 5) - (x² - 4x + 2)
              = 2x² + 3x - 5 - x² + 4x - 2
              = x² + 7x - 7

Bài 2:

Viết lại kết quả phép trừ theo thứ tự giảm dần của biến:

A(x) = x - 2x³ + x², B(x) = -x² + 3x³ - 2x

Đáp án:

A(x) - B(x) = (x - 2x³ + x²) - (-x² + 3x³ - 2x)
           = x - 2x³ + x² + x² - 3x³ + 2x
           = -5x³ + 2x² + 3x

Kết quả theo thứ tự giảm dần: -5x³ + 2x² + 3x

IV. Ghi nhớ

• Phép trừ đa thức = cộng với đa thức đối.
• Đổi dấu toàn bộ đa thức bị trừ trước khi cộng.
• Sắp xếp lại theo thứ tự biến để dễ thực hiện.

V. Liên hệ và mở rộng

Hiểu đúng phép trừ đa thức giúp học sinh dễ dàng thực hiện các bài toán phức tạp hơn như phân tích đa thức, giải phương trình và học tốt các chương sau.

Xem lại bài trước: Toán 8 – Bài 4: Phép cộng đa thức một biến

VI. Kết luận

Phép trừ đa thức là một thao tác cơ bản nhưng quan trọng. Nắm vững kỹ năng này sẽ giúp học sinh lớp 8 tự tin giải bài và đạt kết quả tốt trong các bài kiểm tra.

Chúc các em luyện tập chăm chỉ và đạt điểm cao!

Toán 8 – Bài 4: Phép cộng các đa thức một biến – Lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án

Bài học hôm nay giúp học sinh lớp 8 nắm chắc kiến thức về phép cộng đa thức một biến – một phần quan trọng trong chương trình đại số. Với lý thuyết ngắn gọn, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án, học sinh dễ dàng làm chủ kỹ năng này.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Đa thức một biến: là biểu thức chỉ chứa một biến duy nhất (thường là x).

2. Quy tắc cộng đa thức: Cộng các hạng tử đồng dạng bằng cách cộng các hệ số tương ứng.

Ví dụ minh họa:

Cho A(x) = 3x² + 2x - 1 và B(x) = x² - 5x + 4

A(x) + B(x) = (3x² + 2x - 1) + (x² - 5x + 4)
            = (3x² + x²) + (2x - 5x) + (-1 + 4)
            = 4x² - 3x + 3

II. Tổng quát

Nếu:

A(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀
B(x) = bₙxⁿ + bₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + b₀

Thì:

A(x) + B(x) = (aₙ + bₙ)xⁿ + (aₙ₋₁ + bₙ₋₁)xⁿ⁻¹ + ... + (a₀ + b₀)

III. Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1:

Tính tổng các đa thức sau:

a) A(x) = 2x³ - x² + 3, B(x) = -x³ + 5x² - 7
b) P(x) = x² + 2x + 1, Q(x) = -2x² + 3

Đáp án:

a) A(x) + B(x) = (2x³ - x² + 3) + (-x³ + 5x² - 7)
              = x³ + 4x² - 4

b) P(x) + Q(x) = (x² + 2x + 1) + (-2x² + 3)
              = -x² + 2x + 4

Bài 2:

Viết lại tổng sau theo thứ tự giảm dần của biến:

A(x) = x - 2x³ + 4x², B(x) = -3x + x³ - x²

Đáp án:

A(x) + B(x) = (x - 2x³ + 4x²) + (-3x + x³ - x²)
           = -x³ + 3x² - 2x

IV. Ghi nhớ

• Cộng đa thức là cộng các hạng tử đồng dạng.
• Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần giúp tính toán dễ hơn.
• Cần hiểu rõ đa thức một biến để học tốt các bài tiếp theo về nhân và chia đa thức.

V. Liên hệ và mở rộng

Phép cộng đa thức là bước nền tảng để học các kiến thức quan trọng hơn như nhân, chia đa thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình và phân tích đa thức thành nhân tử.

Xem thêm bài trước: Toán 8 – Bài 2: Đa thức – Lý thuyết và bài tập

VI. Kết luận

Với bài học này, các em học sinh lớp 8 sẽ nắm chắc cách cộng các đa thức một biến, từ đó tự tin giải các bài tập cơ bản và nâng cao. Hãy luyện tập thêm nhiều ví dụ để thành thạo kỹ năng này.

Chúc các em học tốt!