Giao thoa sóng nước: Bài tập “biên độ 10 cm” trên S1S2 (giải chi tiết)
1) Đề bài (chuẩn hóa dễ đọc)
Trên mặt nước, tại hai điểm S1, S2 cách nhau 8 cm, đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nước là v = 40 cm/s. Trên đoạn thẳng S1S2, hãy tìm vị trí có biên độ dao động bằng 10 cm và cách trung điểm O của S1S2 một khoảng nhỏ nhất.
2) Ý tưởng & công thức trọng tâm
- Bước sóng: $\lambda = \dfrac{v}{f}$ (nếu đã biết tần số). Khi đề không cho tần số, hãy suy luận từ phương trình nguồn (nếu có) hoặc khai thác điều kiện biên độ.
- Biên độ tổng hợp tại M: với hai sóng đến M có cùng biên độ $a$, $$A_M = 2a\left|\cos\left(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right|.$$
- Độ lệch pha do hiệu đường đi: $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta d$, trong đó $\Delta d = \left|MS_1 - MS_2\right|$.
- Gần trung điểm O trên S1S2: có xấp xỉ quen thuộc $\Delta d \approx 2x$ với $x = |OM|$.
3) Lời giải từng bước
- Thiết lập hình học: Gọi O là trung điểm S1S2 (S1S2 = 8 cm ⇒ OS1 = OS2 = 4 cm). Chọn M trên S1S2, đặt $x=OM$ (cần tìm $x$ nhỏ nhất thoả yêu cầu).
- Hiệu đường đi gần O: $\Delta d = |MS_1 - MS_2| \approx 2x$.
- Biên độ tại M: $A_M = 2a\left|\cos\left(\dfrac{\pi \Delta d}{\lambda}\right)\right| = 2a\left|\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|$.
- Điều kiện bài toán: $A_M = 10$ (cm). Nếu biên độ mỗi nguồn là $a$ (không đổi theo mô tả đề), khi đó $$\left|\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right| = \dfrac{10}{2a}=\dfrac{5}{a}.$$
- Giải vị trí gần O nhất: Tìm nghiệm nhỏ nhất của $\left|\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|=\dfrac{5}{a}$ ⇒ $$\dfrac{2\pi x}{\lambda} = \arccos\!\left(\dfrac{5}{a}\right) \quad \text{hoặc} \quad \dfrac{2\pi x}{\lambda} = 2\pi - \arccos\!\left(\dfrac{5}{a}\right).$$ Lấy nghiệm dương nhỏ nhất cho $x$.
4) Ví dụ minh họa nhanh
Giả sử mỗi nguồn có biên độ a = 6 cm (đủ lớn để tổng hợp ra 10 cm). Khi đó $\dfrac{5}{a}=\dfrac{5}{6}$.
Gần O: $\Delta d \approx 2x$ ⇒ $A_M = 2a\left|\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|=10$ ⇒ $\left|\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right| = \dfrac{5}{6}$.
Nghiệm nhỏ nhất: $\dfrac{2\pi x}{\lambda} = \arccos\!\left(\dfrac{5}{6}\right) \Rightarrow x = \dfrac{\lambda}{2\pi}\arccos\!\left(\dfrac{5}{6}\right).$
Gợi ý kiểm tra nhanh: nếu đề cho tần số (hoặc phương trình nguồn) ⇒ tính $\lambda=\dfrac{v}{f}$ với v = 40 cm/s, rồi thay vào công thức trên để ra kết quả theo cm.
5) Lỗi sai thường gặp
- Nhầm $\Delta\varphi$ của hai nguồn tại gốc với độ lệch pha tại điểm M (phải dùng hiệu đường đi đến M).
- Quên đổi đơn vị (cm ↔ m; s ↔ ms), đặc biệt khi tính $\lambda, v, f$.
- Không kiểm tra điều kiện $| \cos(\cdot) | \le 1$ dẫn đến nghiệm không thực.
- Xấp xỉ $\Delta d \approx 2x$ chỉ đúng khi M rất gần trung điểm O.
6) Hỏi & đáp nhanh
- Hỏi: Vì sao lại dùng $A=2a|\cos(\Delta\varphi/2)|$?
- Trả lời: Đây là kết quả tổng hợp hai dao động điều hòa cùng biên độ đến cùng điểm, độ lệch pha tại điểm là $\Delta\varphi$.
- Hỏi: Gần O, vì sao $\Delta d \approx 2x$?
- Trả lời: Do hình học đoạn thẳng S1S2 quanh trung điểm O; khi x nhỏ, chênh lệch khoảng cách đến S1 và S2 xấp xỉ tuyến tính theo $x$.
