Ôn Chuyên toán: Chứng minh số có 4 chữ số abcd chia hết cho 67 khi ab = 2cd – Bài tập chia hết nâng cao
Chứng minh số có 4 chữ số abcd chia hết cho 67 khi ab = 2cd
Bài toán: Cho số tự nhiên có bốn chữ số abcd thỏa mãn điều kiện ab = 2cd. Chứng minh rằng số abcd chia hết cho 67.
Đây là dạng bài tập chia hết nâng cao thường gặp trong chương trình Toán lớp 6, lớp 7 và các đề thi học sinh giỏi. Phương pháp chính là tách số theo hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị và sử dụng giả thiết để biến đổi biểu thức theo "cấu tạo số".
 |
| Phương pháp giải bài toán chia hết cho 67 bằng cách tách số - Blog học cùng con |
Phương pháp giải bài toán chia hết cho 67 bằng cách tách số
Gọi ab = x và cd = y. Khi đó x = 2y.
Số có bốn chữ số abcd được viết dưới dạng:
abcd = 1000a + 100b + 10c + d
Ta tách thành hai nhóm:
1000a + 100b + 10c + d = 100(10a + b) + (10c + d) = 100x + y
Thay x = 2y vào biểu thức trên:
100x + y = 100(2y) + y = 200y + y = 201y
Mà 201 = 3 × 67, nên:
201y = 67 × (3y)
Do đó abcd = 67 × (3y). Vậy abcd chia hết cho 67. Điều phải chứng minh.
Ví dụ minh họa số có 4 chữ số chia hết cho 67
Chọn y = cd = 12, khi đó x = 2y = 24. Số cần tìm là abcd = 2412.
Thử phép chia: 2412 : 67 = 36. Vậy 2412 chia hết cho 67.
Một ví dụ khác: y = 30, x = 60, ta được số 6030. Ta có 6030 : 67 = 90. Đúng vậy.
Bài tập vận dụng dạng chia hết cho 67 cho học sinh chuyên toán
Bài tập 1: Tìm tất cả các số có bốn chữ số abcd sao cho ab = 2cd và số đó chia hết cho 67.
Hướng dẫn: Theo chứng minh trên, mọi số thỏa mãn điều kiện đều chia hết cho 67. Vậy chỉ cần liệt kê các số có dạng abcd với ab = 2cd. Vì cd là số có hai chữ số (từ 00 đến 99) và ab = 2cd phải là số có hai chữ số (từ 10 đến 99), nên cd phải thỏa mãn 10 ≤ 2cd ≤ 99, tức 5 ≤ cd ≤ 49. Do đó có 45 số thỏa mãn.
Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu số có bốn chữ số abcd chia hết cho 67 và ab = 2cd thì số đó có dạng 201y với y là số có hai chữ số.
Bài tập 3: Mở rộng: Tìm điều kiện của các chữ số a, b, c, d để số abcd chia hết cho 201.
Kết luận và mở rộng bài toán chia hết
Qua bài viết này, các em đã nắm được cách chứng minh một số có bốn chữ số chia hết cho 67 khi có mối quan hệ giữa hai chữ số đầu và hai chữ số cuối. Phương pháp tách số theo giá trị hàng là kỹ năng quan trọng trong các bài toán chia hết. Các em có thể áp dụng tương tự cho các số chia hết cho 3, 9, 11, 101, ...
Hy vọng bài viết hữu ích cho các bạn học sinh chuyên toán. Hãy để lại bình luận nếu có thắc mắc.
Danh sách bài viết đề xuất liên quan đến Dấu hiệu chia hết:
Đang tải bài viết...
